Curso objetivo y contenido
curricular. 3º o 4º ESO. Números irracionales.
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Conocimientos previos. Realizar
construcciones con regla y compás. Polígonos regulares (Educación plástica, visual
y audiovisual de primer ciclo de ESO, Matemáticas de 1º ESO)
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Introducción. Lectura comprensiva:
páginas 2 a 6
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Ejercicios.
1.
Construir un rectángulo áureo con
regla y compás de la forma en que se realiza en la actividad.
2.
Construir un pentágono regular que
tenga como lado el menor de los lados del rectángulo anterior.
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Ampliación
Demostrar los resultados de las notas que figuran
al final de la actividad.
EN ESTE CUADRO LO QUE IMPORTA ES
EL MARCO
Semitaza gigante volante,
con anexo inexplicable de cinco metros de longitud. Salvador Dalí, 1944-1945
Este marco rectangular
tiene unas dimensiones especiales, las de la proporción áurea, es decir, al
dividir en el rectángulo el alto entre el ancho el número que se obtiene es el
número áureo, F. ¿Cómo podríamos
fabricar un marco como éste? Para responder a esta pregunta tenemos que
remontarnos a la Antigua Grecia, a la obra de un matemático del siglo III a.C,
Euclides de Alejandría.
En su libro
los Elementos Euclides nos enseña a construir el pentágono regular dado el
lado. Lo que hace Euclides es obtener, usando solo regla y compás, la diagonal
del pentágono partiendo del lado.
Si a fuera el
lado conocido del pentágono. ¿Cuál sería su diagonal?
Euclides nos
da la solución. Sobre el lado a construye un
cuadrado. Determina el punto medio de la base por medio de la mediatriz. Con
centro en el punto medio de la base traza un arco que corta a la prolongación
del lado en un punto que determina un segmento b.
a+b
sería la diagonal del pentágono
Una vez
obtenida la diagonal se dibuja el pentágono de manera sencilla ayudándonos
únicamente del compás. En primer lugar se construye el siguiente triángulo
isósceles:
A partir de
este triángulo isósceles podemos construir el pentágono trazando 2 arcos de
radio a, uno desde cada extremo de la base
y otros dos, también de radio a, desde el tercer vértice del triángulo.
Euclides sabía también que la construcción anterior llevaba aparejada la siguiente igualdad
En Matemáticas se
llama razón a un cociente o división y proporción a la igualdad de dos razones.
La proporción anterior se llama proporción áurea y las dos razones implicadas
son un número conocido como número áureo .
(2)
(2)
RECTÁNGULOS ÁUREOS
Son aquellos que cumplen que el
cociente (división) entre su lado mayor y su lado menor es el número áureo.
La construcción anterior nos permite dibujar dos rectángulos
áureos: el
rectángulo de lados a+b y a y el de lados a y b.
PROPIEDAD
REPRODUCTIVA DEL RECTÁNGULO ÁUREO
Podemos interpretar el dibujo
anterior de la siguiente forma:
Si
a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado el menor de los del
rectángulo obtenemos otro rectángulo áureo.
Lo podemos ver en esta imagen que parte
del rectángulo anterior girado 90°.
Como el rectángulo inferior es áureo
podemos volver a quitarle un cuadrado y obtendremos otro rectángulo áureo
pudiéndose repetir la construcción tantas veces como se quiera.
(1) La igualdad se puede deducir usando
el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de lados a y a/2
de la figura.
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