Estalmat 2022

 

Policubos del plano al espacio

El nacimiento de la perspectiva

 Estalmat 2021. Mosaicos. 

Actividad mosaicos

Actividad para introducir el número áureo a partir de un cuadro de Dalí

         Curso objetivo y contenido curricular. 3º o 4º ESO. Números irracionales.

·         Conocimientos previos. Realizar construcciones con regla y compás. Polígonos regulares (Educación plástica, visual y audiovisual de primer ciclo de ESO, Matemáticas de 1º ESO)

·         Introducción. Lectura comprensiva: páginas 2 a 6

·         Ejercicios.

1.    Construir un rectángulo áureo con regla y compás de la forma en que se realiza en la actividad.

2.    Construir un pentágono regular que tenga como lado el menor de los lados del rectángulo anterior.

3.    Investigar qué otros cuadros de Dalí están relacionados con el número áureo.

·         Ampliación

Demostrar los resultados de las notas que figuran al final de la actividad.

EN ESTE CUADRO LO QUE IMPORTA ES EL MARCO

            

Semitaza gigante volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud. Salvador Dalí, 1944-1945

Este marco rectangular tiene unas dimensiones especiales, las de la proporción áurea, es decir, al dividir en el rectángulo el alto entre el ancho el número que se obtiene es el número áureo, F. ¿Cómo podríamos fabricar un marco como éste? Para responder a esta pregunta tenemos que remontarnos a la Antigua Grecia, a la obra de un matemático del siglo III a.C, Euclides de Alejandría.

En su libro los Elementos Euclides nos enseña a construir el pentágono regular dado el lado. Lo que hace Euclides es obtener, usando solo regla y compás, la diagonal del pentágono partiendo del lado.

Si a fuera el lado conocido del pentágono. ¿Cuál sería su diagonal?

Euclides nos da la solución. Sobre el lado a construye un cuadrado. Determina el punto medio de la base por medio de la mediatriz. Con centro en el punto medio de la base traza un arco que corta a la prolongación del lado en un punto que determina un segmento b.

   a+b  sería la diagonal del pentágono

Una vez obtenida la diagonal se dibuja el pentágono de manera sencilla ayudándonos únicamente del compás. En primer lugar se construye el siguiente triángulo isósceles:

A partir de este triángulo isósceles podemos construir el pentágono trazando 2 arcos de radio a, uno desde cada extremo de la base  y otros dos, también de radio a, desde el tercer vértice del triángulo.

Euclides sabía también que la construcción anterior llevaba aparejada la siguiente igualdad

                                                                                                                              

En Matemáticas se llama razón a un cociente o división y proporción a la igualdad de dos razones. La proporción anterior se llama proporción áurea y las dos razones implicadas son un número conocido como número áureo .
                                                                                     (2)

RECTÁNGULOS ÁUREOS

Son aquellos que cumplen que el cociente (división) entre su lado mayor y su lado menor es el número áureo.

La construcción anterior nos permite dibujar dos rectángulos áureos: el

rectángulo de lados a+b  y a y el de lados a y b.

PROPIEDAD REPRODUCTIVA DEL RECTÁNGULO ÁUREO

Podemos interpretar el dibujo anterior de la siguiente forma:

Si a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado el menor de los del rectángulo obtenemos otro rectángulo áureo.

Lo podemos ver en esta imagen que parte del rectángulo anterior girado 90°.

Como el rectángulo inferior es áureo podemos volver a quitarle un cuadrado y obtendremos otro rectángulo áureo pudiéndose repetir la construcción tantas veces como se quiera.       

Notas

⁽¹⁾    La igualdad se puede deducir usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de lados a y a/2  de la figura.

⁽²⁾      De la igualdad  

 se deduce que 

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Polígonos semejantes en el Arte

La definición más intuitiva de semejanza es la siguiente:
"Figuras semejantes son aquellas de la misma forma pero distinto tamaño".
Se concreta más esta definición cuando la referimos a polígonos.
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos interiores iguales y sus lados son proporcionales.
En el caso de que los poligonos sean rectángulos la igualdad de los ángulos resulta evidente al ser rectos todos ellos mientras que la proporcionalidad de los lados se traduce en que el cociente entre el lado mayor y el lado menor se mantiene cuando los rectángulos son semejantes.
Veamos cuatro ejemplos de obras de arte en que aparecen polígonos semejantes:

Orange and yellow, 1956  Mark Rothko

Semitaza gigante volante con anexo inexplicable de 5 metros de longitud, 1945  Salvador Dalí

                           
                                                                                                       

Acht transcolorationen, 1986  Max Bill

Elucidación lúdica para dos cuadrados iguales, 1975
José María Iglesias

La primera utiliza un procedimiento que permite obtener un rectángulo semejante a partir de un rectángulo inicial arbitrario.

Trazando una perpendicular a la diagonal del rectángulo inicial se obtiene un rectángulo (el de la parte inferior) semejante a él.
En la segunda obra el cociente entre los lados del rectángulo inicial es un valor muy especial en Matemáticas, el número áureo, que aproximadamente vale 1,68. El cuadro tiene las dimensiones de los llamados rectángulos áureos que tienen la siguiente propiedad:
Si quitamos del rectángulo un cuadrado cuyo lado es el lado pequeño del rectángulo original, el nuevo rectángulo es también áureo. Como el proceso puede repetirse tendríamos una sucesión de rectángulos áureos que Dalí utiliza para disponer los objetos del cuadro.

En el tercer cuadro los triángulos que se han quitado al cuadrado son semejantes al triángulo rectángulo de lados 3,4,5.

En el último cuadro aparecen 4 triángulos semejantes al ser todos rectángulos y tener un ángulo agudo igual.Los ángulos de la parte superior del cuadro son iguales a los de la inferior al ser las rectas que los delimitan paralelas.